Μια έξυπνη κατασκευή που αποδεικνύει με νερό το Πυθαγόρειο θεώρημα (Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών).

28 Comments

1. AdelIno 25 says:

   03/01/2018 at 14:53

   comment on fait ca? Avec quels matériaux

   1

   

   Reply
   • Mk says:

     06/01/2021 at 20:21

     Ez csak simán víz. Ismered a Pitagorasz tételt? Ez arra ad választ. (a2+b2=c2) 3 plexit kocka van középen és egy háromszög alakú, vízet be önttöte az alsó kettöbe, mert az engyenlett szerint ki töltti a c2 kockát, ezt magyarázza el. Püthagorasz nagyon okos volt ő találta ki ezt a tételt.

     1

     

     Reply
2. Simster says:

   13/06/2016 at 13:37

   Really good presentation I really liked it. Thank you for it by the way.

   

   

   Reply
3. dimitris81 says:

   08/10/2013 at 20:33

   Λάμπρο κατ’αρχάς συγχαρητήρια για την παρουσίαση.

   Ο συναδελφό σας απλά παρατήρησε οτι ειναι ενα εξαίσιο παράδειγμα προς κατανόηση και απομνημόνευση στους μαθητές. Θα έλεγα ευφηέστατο..διότι είναι τόσο απλό και ξεκάθαρο.

   Κανείς δεν μίλησε για απόδειξη ακριβείας. ΚΑι εσείς φαντάζομαι όταν σχηματίζεται τα σχήματα στο πίνακα κάνενα δεν είναι απόλυτο. Χάσαμε την ουσία.
   Η αλήθεια ειναι οτι ο συνάδελφός σας φαίνεται να είναι εξαιρετικός εκπαιδευτικός και σίγουρα είστε και εσείς αλλα δεν δείξατε να το γνωρίζετε….Η εκπαίδευση δεν ειναι μονο Εγκυκλοπέδια.

   

   

   Reply
4. Asto Κalitera says:

   07/10/2013 at 15:49

   η κατασκευη αυτη ως εποπτικο βοηθημα ειναι απλα καταπληκτικη. θελω να γκρινιαξω απο το ζορι μου που δεν το σκεφτηκα πρωτος να το κανω, τοσα χρονια στην εκπαιδευση αλλα λεω να μην το κανω.

   

   

   Reply
   • Λάμπρος Θ. Μαγκλάρας says:

     07/10/2013 at 17:41

     Άστο καλύτερα. Τυχερός είσαι που δεν το έκανες γιατί θα αποδείκνυες ότι δεν είσαι στην εκπαίδευση, αλλά για εκπαίδευση.

     

     

     Reply
     • Asto Κalitera says:

       07/10/2013 at 18:48

       οχι δεν ειμαι τυχερος, ειμαι εγκρατης, προσγειωμενος, και μη επι φραγμίτου του νότιου .
       ΕΙμαι στην εκπαιδευση και εχοντας τιθασευσει την επαρση μου γνωριζω οτι εκπαιδευοντας εκπαιδευομαι. αυτα ομως δεν αλλαζουν την πραγματικοτητα:

       η κατασκευη αυτη ως εποπτικο βοηθημα ειναι απλα καταπληκτικη.

       

       

       Reply
       • Λάμπρος Θ. Μαγκλάρας says:

         07/10/2013 at 19:20

         Λοιπόν, αν όντως είσαι στην εκπάιδευση – που αφού με βεβαιώνεις το πιστεύω – πολλά εξηγούνται για την ποιότητα της εκπαίδευσης! Όταν ο δάσκαλος μόνον μιλάει χωρίς να ακούει καθόλου τι του λέει ο συνομιλητής του, αυτά είναι τα αποτελέσματα. Στου κουφού την πόρτα. Υγεία αγαπητέ με την τιθασευμένη έπαρση και λυπάμαι για την οξύτητα της λαϊκής ρήσης την οποία χρησιμοποίησα…

         

         

         Reply
         • Asto Κalitera says:

           07/10/2013 at 19:26

           οντως οταν ο δάσκαλος μόνον μιλάει χωρίς να ακούει καθόλου τι του λέει ο συνομιλητής του, αυτά είναι τα αποτελέσματα

           

           

           Reply
           • Λάμπρος Θ. Μαγκλάρας says:

             07/10/2013 at 20:02

             Για το λόγο αυτό είπα εξαρχής άπαξ “άστο καλύτερα”.

             

             

             Reply
             • Asto Κalitera says:

               07/10/2013 at 21:59

               και πιαστο χειροτερα, αλλα η κατασκευη αυτη ως εποπτικο βοηθημα ειναι απλα καταπληκτικη.

               

               
             • Λάμπρος Θ. Μαγκλάρας says:

               07/10/2013 at 22:36

               Λίγο ακόμα και θα είσαι εσύ ο καταπληκτικός (για τραγούδι) με τις γαργάρες. Είδες που τελικά σου έκανε καλό η συνομιλία σου μαζί μου; Έτσι εκπαιδεύω εγώ. Με απτά αποτελέσματα. Ακόμα και τον μηχανικό τον κάνω αμήχανο. Δεν κρύβω ότι άρχισες να μου γίνεσαι ευχάριστος…

               

               
             • Asto Κalitera says:

               07/10/2013 at 22:44

               μην ξεχνας οτι εσυ αρχισες να συνομιλεις μαζι μου, για μια κατασκευη που ως εποπτικο βοηθημα ειναι απλα καταπληκτικη.

               

               
             • Λάμπρος Θ. Μαγκλάρας says:

               07/10/2013 at 23:41

               Τι μου θύμισες τώρα! Μα όλα τα θυμάσαι; Μάλλον το κάνεις επίτηδες για να με δυσκολέψεις; Για το καλό σου το έκανα γιατί κατάλαβα αμέσως ότι είσαι στην εκπαίδευση, λόγω του συμπεράσματος περί την υπόδειξη της περιπεπλεγμένης όσον και καταπληκτικής ταύτης υποδείξεως του εποπτικού βοηθήματος. Ξέρεις γίνεται και με μέλι η η καταπληκτική εφαρμογή, όσον και με ελαιόλαδο, αρκεί να είναι Καλαμών…
               Αν δεν είχες πάθει καταπληξία από την καταπληκτική αυτή εφαρμογή μπορεί να σε παρεξηγούσα.

               

               
             • Asto Κalitera says:

               08/10/2013 at 10:55

               επιτελους!! η δικαιωση και η αναγνωριση.

               

               
             • Λάμπρος Θ. Μαγκλάρας says:

               08/10/2013 at 11:23

               Εξαρχής θέλεις να πεις. Εξαρχής σε δικαίωσα και σε αναγνώρισα, μόνο που το έκανα λίγο περίπλοκο και δεν το κατάλαβες…

               

               
             • Asto Κalitera says:

               08/10/2013 at 11:46

               Επιτελους θελω πω, επιτελους. και μια και το αναφερατε και εγω εξαρχης σας καταλαβα και σας κατανοησα :)

               

               
             • Λάμπρος Θ. Μαγκλάρας says:

               08/10/2013 at 12:43

               Και εγώ «θέλω πω» δεν αμφιβάλλω.

               

               
             • Asto Κalitera says:

               08/10/2013 at 15:53

               αμα θελεις πει εσυ, δεν αμφιβαλλω οτι πεις οτι θελεις πεις

               

               
         • Asto Κalitera says:

           07/10/2013 at 19:27

           παρεπιπτοντως,η κατασκευη αυτη ως εποπτικο βοηθημα ειναι απλα καταπληκτικη.

           

           

           Reply
           • Λάμπρος Θ. Μαγκλάρας says:

             07/10/2013 at 20:01

             “Παρεμπιπτόντως” θέλεις να πεις.

             

             

             Reply
             • ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΥΤΣΟΓΙΑΝΝΗΣ says:

               31/10/2015 at 09:06

               chat κάνετε εσείς οι δύο ;;

               

               
             • trampakoulas says:

               02/11/2015 at 13:56

               τώρα μπορεί να είναι κ ζευγάρι μετά απο δυο χρόνια…

               

               
5. Λάμπρος Θ. Μαγκλάρας says:

   16/09/2013 at 10:58

   Τα μαθηματικά δεν είναι ταχυδακτυλουργία. Με γυμνό οφθαλμό διαπιστώνεται ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας δεν παράγεται από την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου. Το ορθογώνιο τρίγωνο (κίτρινο) έχει μικρότερη πλευρά, αφού στα πλάγια υπάρχουν κενά να διέρχεται το νερό, από τις άλλες τρεις πλευρές του τετραγώνου στο οποίο η υποτείνουσα του τριγώνου συμμετέχει σαν μία από τις πλευρές του. Το τετράγωνο έχει 4 ίσες πλευρές και όχι 3 και μία μικρότερη. Η ακρίβεια υποτίθεται ότι είναι το καμάρι των μαθηματικών και εν προκειμένω είναι χοντροκομμένο το σφάλμα.

   

   

   Reply
   • Madia Pa says:

     06/10/2013 at 22:14

     Θα διαφωνήσω μαζί σου. Στην κατασκευή δεν είναι απαραίτητο ότι υπάρχουν κενά που δημιουργούνται από άνισες πλευρές (ούτως ή άλλως δεν φαίνεται κάτι τέτοιο). Το κενό φαίνεται να υπάρχει από κάτω, δηλαδή στο βάθος. Έτσι κι αλλιώς, αν η κατασκευή δεν ήταν ακριβής, δε θα ήταν αυτό το αποτέλεσμα, σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα!

     

     

     Reply
     • Λάμπρος Θ. Μαγκλάρας says:

       07/10/2013 at 09:41

       Στην κατασκευή είναι απαραίτητο να υπάρχουν τα κενά γιατί χωρίς κενά δεν μπορεί να περάσει το νερό! Ωστόσο δεν είναι αυτό το θέμα. Το πυθαγόρειο όπως και κάθε κατσκευή στη γεωμετρία γίνεται αποκλειστικά με κανόνα και διαβήτη. Με αυτή τη μέθοδο (ρευστά) αποδεικνύεται “κατασκευαστικά” και ο τετραγωνισμός του κύκλου και λύνεται και το δήλιο πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου. Μη διαφωνείς λοιπόν. Είναι κακόγουστη αντίληψη (για να μη τη χαρακτηρίσω αντίληψη αδαούς) περί το πυθαγόρειο και την γεωμετρία γενικότερα.

       

       

       Reply
       • Madia Pa says:

         07/10/2013 at 11:07

         Και ξανά: τα κενά φαίνεται να είναι από κάτω, δεν είναι κάποια πλευρά πιο μικρή. Τουλάχιστον έτσι φαίνεται, αν παρακολουθήσεις και τη ροή του νερού. Η μόνη κριτική που θα μπορούσα να κάνω σε αυτό ως “απόδειξη” (παρατήρηση που δεν έκανα η ίδια) είναι ότι το τρίγωνο θα έπρεπε να ήταν διαφανές, για να φαίνεται ότι δεν “κρύβεται” νερό από κάτω του.
         Η τελευταία σου πρόταση είναι κάπως αγενής. Οι χαρακτηρισμοί μπορούν να λείπουν.

         

         

         Reply
         • Λάμπρος Θ. Μαγκλάρας says:

           07/10/2013 at 15:12

           Δεν ήθελα να σας προσβάλω και αν έτσι αντιληφθήκατε παρά το ότι δεν είναι αληθές, εκφράζω τη λύπη μου και ζητώ συγγνώμη. Επί της ουσίας: Δεν δείχνετε και τόση προσοχή (αυτό προσβάλει εμένα που συνομιλώ μαζί σας εντελώς καλοπροαίρετα) στις παρατηρήσεις μου πως το πυθαγόρειο (όπως και κάθε κατασκευή) ανήκει στα μαθηματικά μόνον αν αποδειχθεί με κανόνα και διαβήτη. Πέρα από αυτό το πυθαγόρειο θεώρημα είναι λάθος μέσω των κατασκευών ακόμα και με κανόνα και διαβήτη. Είστε δικαιολογημένη να μη το γνωρίζετε γιατί αποκρύπτετε και αυτό που λέω δεν είναι γενικό και αόριστο. Ωστόσο ευχαρίστως να σας βοηθήσω αν βέβαια το επιθυμείτε:

           ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

           Αθήνα 2 Απριλίου 2007

           Αρ. Πρωτοκόλλου: 12234/2-4-07

           Ο κύριος Λάμπρος Θ. Μαγκλάρας απευθύνθηκε στην Ελληνική
           Μαθηματική Εταιρεία καταθέτοντας τον ισχυρισμό, ότι το πυθαγόρειο θεώρημα είναι εσφαλμένο.

           Επικαλέστηκε τα εξής:

           1. Ότι κατασκευαστικά δεν μπορεί να αποδειχθεί το θεώρημα, επειδή κατά τους μετασχηματισμούς είναι αδύνατο 2 ζεύγη κατακορυφήν γωνιών – π.χ. 2 ζεύγη ίσων μεταξύ τους ορθογωνίων ισοσκελών τριγώνων – να εφάπτονται ταυτόχρονα στο «κέντρο» του υπό σύνθεση τετραγώνου, ώστε να το αποτελέσουν.

           2. Ότι θεωρητικά το πυθαγόρειο θεώρημα:

           α. Ζητά και προβαίνει προς απόδειξή του, σε αθροίσεις
           σχημάτων (Το άθροισμα των τετραγώνων κ.τ.λ.) που δεν προβλέπονται από το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη, ούτε από την νεότερη τυποποίησή του από τον Hilbert.

           β. Δεν έχει την αναγκαία για κάθε θεώρημα αξιωματική
           στήριξη.

           Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, ανταποκρινόμενη με ευθύνη στις αιτιάσεις του κυρίου Λάμπρου Θ. Μαγκλάρα, θεωρώντας ταυτόχρονα χρέος της
           να διαλευκάνει το ζήτημα, τον κάλεσε στην Επιτροπή ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ και παρουσία πλήθους συναδέλφων μαθηματικών καθηγητών, του παρέσχε τις εξής διευκρινήσεις σχετικά με το πυθαγόρειο θεώρημα.

           1. Σε σχέση με την κατασκευαστική αδυναμία, που όντως
           εμφανίζεται επί εποπτικής φύσεως, π.χ. υλικά υποδείγματα, όπως ορθά και ο ίδιος
           επισημαίνει, αυτή η αδυναμία ουδόλως επηρεάζει την ορθότητα του πυθαγορείου,
           καθώς η κατασκευή είναι εποπτική και τα μαθηματικά λειτουργούν αφαιρετικά της
           φύσης.

           2. Σε σχέση με τις αθροίσεις σχημάτων, του επισημάνθηκε, ότι όντως αυτές δεν προβλέπονται (όπως ορθά ισχυρίζεται) από την γεωμετρία, αλλά
           κατά ερμηνεία, οι αθροίσεις αυτές ανάγονται σε αθροίσεις εμβαδών, δηλονότι αριθμών και όχι σχημάτων. Έτσι, επί ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου, με μέτρο κάθετης πλευράς 1, το τετράγωνο της υποτείνουσας εκφράζεται από τον ακέραιο
           θετικό αριθμό 2, δηλαδή από τετράγωνο με εμβαδόν 2.

           3. Σε σχέση με την αξιωματική στήριξη του πυθαγορείου, αυτή υποδείχθηκε στον κύριο Λάμπρο Θ. Μαγκλάρα, ότι ευρίσκεται στο αξίωμα του εμβαδού, αφού οι αθροίσεις είναι αθροίσεις εμβαδών και όχι σχημάτων.

           ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

           Ο εισάγων την ερμηνεία.

           ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΕΚΤΕΛΕΣΤΙΚΗΣ
           ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑΣ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄

           Γιώργος Τασσόπουλος

           ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΕΜΕ
           Νικόλαος Αλεξανδρής

           Να είσαστε καλά και αν έχετε απόδειξη του πυθαγόρειου στο πλαίσιο της θεωρίας συνόλων στην οποία ανήκει το αξίωμα του εμβαδού (αφού κάθε άλλη – όπως και η κατασκευή – δεν γίνεται δεκτή από την ΕΜΕ όπως διαπιστώνετε) ευχαρίστως να σας την ανατρέψω ομοίως, δηλαδή εύκολα. Σας ευχαριστώ για την ενδιαφέρουσα συνομιλία.

           

           

           Reply